onko 1/0.9999999..... = 1
näin se on jos 1/0.9 ei ole 1, niin ei myöskään 1/0.9999999....... = 1, koska ne ovat samaa tyyppiä.
lyhyesti tarkennan jollekin, että miksi se pätisi jälkimmäiselle, jos se ei päde ensimmäiselle.
teoreetttisesti se on näin, mutta voi olla ehkä, että koska aikaisempi on helpompi käyttää, niin käytännössä 1/0.999999.... = 1 on tosi
näin se on jos 1/0.9 ei ole 1, niin ei myöskään 1/0.9999999....... = 1, koska ne ovat samaa tyyppiä.
lyhyesti tarkennan jollekin, että miksi se pätisi jälkimmäiselle, jos se ei päde ensimmäiselle.
teoreetttisesti se on näin, mutta voi olla ehkä, että koska aikaisempi on helpompi käyttää, niin käytännössä 1/0.999999.... = 1 on tosi
Vastaukset 28
Vanhimmat
"näin se on jos 1/0.9 ei ole 1, niin ei myöskään 1/0.9999999....... = 1, koska ne ovat samaa tyyppiä"
Kyseessä on non sequitur.
Rationaali- ja irrationaaliluvun osamäärä on irrationaaliluku, joten 1/0.999... ei voi olla 1, joka on rationaaliluku.
Ahmon
0,999... ei suinkaan ole irrationaaliluku, onhan sillä jaksollinen desimaalikehitelmä:jakson pituus on 1 ja jakso koostuu numerosta "9".
Lisäksi tietenkin, kuten jo tässäkin ketjussa on kahdesti osoitettu, 0,999... = 1 ja siis mitä rationaalisin, pertäti kokonaisluku.
Ohman
jaaaapa, tämä miettiminen tässä ei noudata matematiikan sääntöjä, koska mietitään sen käytönnnöilistä näkökulmaa ja teoreettista näkökulmaa.
jos sanoo, että tämä on käytännöllinen näkökulma, jota mietin, ja toisessa kohtaa, kun miettii sitä, sanoo siitä, että tämä on teereettinen näkökulma, niin siten.
ei sitä tarvitse sanoa, kuin vain, kun huomaa sen vaatiman sanomisen.
kuulostaa pakottamiselta tekemisessä
voihan tehdä matematiikkaan säännön, että mennään joko teoreettisesti tai käytännöllisesti.
ei siinä ehkä ole järkeä
10 * 0,999... = 9,999...
1 * 0,999... = 0,999...
(10 - 1) * 0,999... = 9 *9,999...= 9,999... - 0,999... = 9
9 * 0,999... = 9 joten 0,999... = 1.Ja siis 1/0.999... = 1/1 = 1.
Voi tämän näyttää muillakin tavoilla mutta tässä nyt oli yksi.
Kuinkahan monta kertaa tätäkin asiaa lie palstalla vatvottu? Mutta aina näkyy löytyvän uusia "viisaita".
Ohman
Tällaista todistelua taidetaan kutsua nimellä "'olkinukke"
Väite todistelussa että (10 - 1) * 0,999... = 9 *9,999...= 9,999... - 0,999... = 9, pätee myös mille tahansa muulle 0,999... : n tilalle sijoitetulle lukuarvolle vain jos sen suuruus ensin oletetaan olevan 1 (ts. väite: 10*a-a = 9, edellyttää jo että a=1)
Em ei siis todista että 0,999... olisi 1, vaan esittää vain laskutoimitusta jossa on jo oletettu 0,999... olevan 1 .
aqnostikko
Tuli kirjoitusvirhe tuossa laskussani. P.O.:
(10 - 1) * 0,999... = 9 * 0,999... = 9,999... . - 0,999... = 9 joten 0,999... = 9/9 = 1.
Viimeisellä todistusrivillä oli kyllä oikein : 9 : 0,999... = 9 joten 0,999... = 1.
Olkinukkeja ei ole. Tämän kirjoitusvirheen olisi agnostikkokin (ehkä?) voinut huomata.
Vielä uudestaan: Koska 10 * 0,999... = 9,999... ja 1* 0,999... = 0,999... niin
10*0,999... - 1* 0,999... =(10 - 1) * 0,999... = 9* 0,999... = 9,999... - 0,999... = 9
Ohman
Näkyy nyt noita kirjoitusvirheitä pukkaavan. P.o. "Viimeisellä todistusrivillä oli kyllä oikein:
9 * 0,999... = 9 joten 0,999... = 1."
Taas Ohman
0,999... = 0,9 x 10^0 0,9 x 10^-1 0,9 x 10^-2 ...
Kyseessä geometrinen sarja, jolle suhdeluku q=0,1 (sarja suppenee) ja vakio a=0,9
Nyt summa
a/(1-q) = 0,9/(1-0,1) = 0,9/0,9 = 1
Vastaavasti 1/0,999... = 1/1 = 1
Kyllähän sen nyt järkikin sanoo, ettei 0,999... ole sama kuin 1. Matematiikan aksioomat eivät vain toimi tässä tapauksessa.
Vai että järkesi ja "matematiikan aksioomat" ovat ristiriidassa.
Jos 0,999... ei ole 1 niin kerropa mitä se sitten on. Ei se kai sinunkaan mielestäsi ole suurempi kuin 1. Ja jos se ei myöskään ole 1 niin se on pienempi kuin 1 vai sanooko järkesi jotatain muuta?
Jos 0, 999... < 1, niin pitäisi löytyä reaaliluku d jolle pätee 0,999... < d < 1.Mikähän luku tämä mielestäsi on?
0,9 = 9/10 = 9* 1/10. 0,99 = 9* 1/10 9 * (1/10)^2. 0,999 = 9* 1/10 9*(1/10)^2 9* (1/10)^3.
s(n) = 0,999...9 missä on n kappaletta yhdeksikköjä on
9*1/10 9* (1/10)^2 .... 9* (1/10)^n.
Nyt lim (n -> inf) s(n) = 1 sillä valittiinpa mikä tahansa positiivinen luku e niin löytyy sellainen positiivinen luku n(e) että
1 - s(n) < e kun n > n(e).
Näin ollen mielestäsi vaikka lukujonon s(n) raja-arvo on 1, niin kuitenkin on olemassa luku d joka on < 1 mutta > s(n) jokaisella n:n arvolla.
Mutta koska näyt epäilevän koko matematiikan järjestelmää niin eihän tämäkään todistelu sinua tietenkään vakuuta.
Minun pitää kai ottaa opikseni tämä vanha tunnettu :"Never argue with ignorant people. There is no amount of evidence that could make them change their minds." Ja olla kinaamatta kanssasi.
Ohman
P.S. Ja tietenkin voisit katsoa tarkemmin tuota nimimerkin "Työlleostettu" geometrista sarjaa.
Sinun mielestäsi näyttää olevan, että vaikka sarjan summa on 1 niin se summa kuitenkin on < 1.
Mutta tämäkin on tietenkin matematiikkaa, joka ei sinua vakuuta.
"First they drag you down to their level and then they beat you with experience."
Rauhaa,rauhaa huokuu keväinen sunnuntaiaamu joten pohdiskelepa ihan rauhassa ihan miten haluat.
Ohman
Tosiasioiden ja faktan selittäminen on loogisen johdonmukaista ja helppoa, kun taas 'tuuban' todistaminen muka faktaksi, vaatii jo enemmän paneutumista ja mielikuvitusta, joskin onnistuessaan on selvästi palkitsevampaa.
Niinpä_niin
1/3 = 0,33333333...
3/3 = 0,99999999...
1 = 0,99999999...
Tuo suppenevan sarjan todistus on omasta mielestäni selkein tapa todistaa että 0,999... = 1. Tuohan pätee myös yleisesti minkätahansa kantaiselle luvulle. Esim binomille 0,111...=1.
Toki tässä täytyy tietää hieman reaalilukujen ominaisuuksia jos asian haluaa ymmärtää.
Itse asiassa tietääkseni reaaliluvut määritellään juuri tuollaisten suppenevien Cauchy-jonojen avulla. eli 0,9 0,09 0,009 ... määrittelee reaaliluvun 1.
Reaaliluvut määritellään aksiomaattisesti siten, että ne muodostavat täydellisen järjestetyn kunnan.
Reaalilukuja ei voi määritellä "suppenevien Cauchy-jonojen avulla" sillä näiden teoria jo edellyttää reaalilukujen ominaisuuksien tuntemista. Tuollainen määritelmä olisi kuin Munchausen (anteeksi saksalaisen kirjaimen puute) nostamassa itseään suosta vetämällä tukastaan ylöspäin.
Reaalilukujen desimaaliesityksiä voi sitten kyllä tutkia Cauchy-jonojen avulla.
Jos rationaaliluvut Q on määritelty ( nekin määritellään aksiomaattisesti) niin on olemassa tapa johtaa reaaliluvut käyttämällä ns. formaalisia desimaalikehitelmiä. Tällaisen idean on julkaissut Stolz vuonna 1886. Yksityiskohtainen selostus löytyy aika harvasta nykykirjasta. ja on sen verran hankala että en lähde sitä tässä enemmälti esittelemään.
Ohman
Lisäys: Voidaan kyllä sanoa, että reaaliluvut voi konstruoida rationaalisten Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokkina.Mutta Q on siis jo tunnettava. Kts. Wikipedia : Construction of the real numbers.
Ohman
Tuota tarkoitin. Cauchy-jono f(1)=0,9 f(2)=0,99 f(3)=0,999 jne. kuuluu reaaliluvun 1 Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokkaan.
JOkainen jaksollinen desimaalilukuhan voidaan esittää murtolukuna:
Merkitään x = 0,999... joten 10x = 9,999...
10x-x = 9,999... -0,999...
9x = 9
x = 1
Tämänhän Ohman jo todisti, eikä tämä todistus vaadi yläasteen oppimäärää enempää. Joku epäilikin, että ohmanin todistus toimii jokaisella reaaliluvulla, mutta tässä nyt hyödynnetään yleisesti hyväksyttyä tapaa muuttaa jaksollien desimaaliluku (huom! Ei ole irrationaalinen) murtoluvuksi.
Vielä helpoin todistus on jo esitetty: 1/3 = 3,333... <=> 1 = 0,999...
Tuli sinullekin kirjoitusvirhe. 1/3 = 0,333... <= > 1 = 0,999...
Yhtä hyvin voidaan kirjoittaa suoraan
1/9 = 0,111... joen 1 = 0,999...
Mainitsin jo 1. kommentissani että asian voi näyttää monella tavalla.
Ohman
Ja taas: p.o. joten 1 = 0,999...
Ohman
Yksinkertainen vastaus kysymykseesi on että tutustu sarjoihin.
Päättymättömien sarjojen (suppeneva) summana voidaan pitää raja-arvoa jota se lähenee, päättyville sarjoille on omat summansa.
Selittänee miksi 0,99 ei ole sama kuin 0,999... .
Edellä olleet todistukset, 1/3 ... ja geometrinen sarja ym perustuvat juuri tuohon summan määritykseen, mutta rönsyilyä näyttää sitten löytyvän asian monimutkaistamiseksi.
Olisiko 1/2.999... = 1/3? Nimenomaan jos puhutaan päättymättömästä desimaaliluvusta?
2,99...= 2 0,999... = 2 1=3 joten 1/2.99..=1/3 ktllä
Olisiko 1/ (3 - 0,000.........1) ? Mistä tiedät, ettei siellä nollien perässä ollut tuota ykköstä?
Onko tästä mitään järkeä?
1 ihminen = 0.999... ihmistä
tätä ei voi ratkaista mitenkään muuten, kuin jos haluttaa sopia
käytetään teoreettista näkökulmaa tai käytännölistä
käytännöllinen on se, että kun 1/itseisarvo x, kun x kuuluu reaalilukuihin, niin vastaus on ääretön.
samoin l/0.99999999999999999......=1 käytännössä
teoreettisesti 1/itseisarvo x, kun x kuuluu reaalilukuihin, niin se lähestyy rajattomasti ääretöntä siis y, kun y =1/ itseisarvo x, eli nollalla ei voi jakaa ja saada vastaus y on tuossa ääretön
samoin, kun 1/0.99999999999999999 on erisuursi kuin 1
teoreettissti
nämä teoreettisest näkökulmat ovat totta joka kerta, kun ei voi absoluuttisesti todistaa vastoin faktaa.
käytännössä faktoja ei oteta tarkkaan huomioon, siis ne jotka ovat matematiikan faktat ajateltuina
matematiikan teoreettinen näkökulma on matematiikan käytännön näkökulman vastakohta