2*x-sin(2*x)=y kuinka ratkaiset X:n

Asiasta on kysytty aiemminkin, tässä linkki:

http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000007319282#22000000007319282

rotatoit sen suoran y=x ympäri pi:n verran ja vaihdat argumentit keskenään.

tuo vaatii iterointia, mutta jos ratkaistaan sellainen erikoistapaus, että y=0, niin voidaan käyttää sin x:n sarjakehitelmää, ja tuo sin 2x saadaan neljän ensimmäisen kehitelmän termin avulla muotoon:

2x-8/6*x^3 32/120*x^5-128/5040*x^7

ja sijoittamalla tuo:

8/315*x^7-4/15*x^5 4/3*x^3=y, eli

x^3*(8/315*x^4-4/15*x^2 4/3)=0, tuosta irtoaa

x=0, eikä muita reaalilukuratkaisuja.

Kiitoksia. Taas pääsee eteenpäin.

jaat välin [0,pi] 0,h,2h,3h,...pi]
Iteroit:
sin(2x)-2x h,2h,...
sitten lisäät ratkaisuihin modulin.

Yhtälö on muotoa

(2x-y) = sin(2x)

Siispä on oltava

2x-y \in [-1,1]

eli

2x \in [y-1,y 1]

jolloin siis hyvä alkuarvaus x:lle on y/2. Halutaan siis laskea seuraavan funktion nollakohta:

f(x) = 2x - sin(2x) - y

Lasketaan derivaatta:

df/dx = 2 - 2 cos(2x)

jolloin voidaan tehdä Newtonin iteraatio alkaen kohdasta y/2:

x[0] = y/2
x[n 1] = x[n] - (2x-sin(2x)-y) / (2-2cos(2x))

jolloin esimerkiksi Octavelle saadaan parilla iteraatiolla vastaus:

octave:1> y = 3
y = 3
octave:2> x = y/2
x = 1.5000
octave:3> x = x - (2*x-sin(2*x)-y)/(2-2*cos(2*x))
x = 1.5355
octave:4> x = x - (2*x-sin(2*x)-y)/(2-2*cos(2*x))
x = 1.5354
octave:5> x = x - (2*x-sin(2*x)-y)/(2-2*cos(2*x))
x = 1.5354
octave:6>