minkkilaukku
linkit: http://freemasonry.bcy.ca/texts/gardeners.html
lainauksia:
- Force and might make right
- Mutta se portti on ahdas ja tie kaita, joka vie elämään, ja harvat ovat ne, jotka sen löytävät.
- Mikä Mariana maloilla, se vappuna vaoilla
Liittynyt sitten
Muokkaa profiilia289 aloitusta · 3199 kommenttia
- Joo, Feynmanin tempusta oli kyse. Joo, nyt näänkin, että kun ottaakin x^m * ln(x)^n, niin on helpompi. Eka tapaus n=0 tulee suoraan integroimalla ja sitten induktiivisesti joko osittaisintegroinnilla, tai Leibnizilä:
I_n,m ' (t) = n/t (n-1)! / ((n 1)^m t^(n-1))
eli sinne tulee t^(-n), joka integroidaan -1/(n 1) t^(-n 1):ksi eli sitä kauttahan se (n 1)^(m 1) tulee.
Tuota toisen parametrin m ottamista vähän ounastelinkin, mutta en jotenkin vienyt ajatusta loppuun :D. - Ressu ainut järkevä!
- Siis integraalista tulee mukavasti n ulos, joka johtaa rekursiivisesti n!:ään kun saataisiin jäämään alempi I_n. Mutta mistäs 1/(n 1)^(n 1) saadaan? Merkitsen siis integraalia I_n(t). Derivaatalle saadaan
I_n'(t) = n/t integraali nollasta ykköseen x (x*ln(tx))^(n-1) dx
mutta tuosta en osaa jatkaa. Mitenkäs I_n(t) saadaan derivaatasta, ei oikein uskalla integroidakaan (vai mistä mihin (ykköseen oletettavasti) pitäisi??) - Stuba Kuulan kulli ois kova!
- Typerin juonenkäänne on Elinan kääntyminen saunalla ja säpsähdys pari sekuntia ennen sitä.
- On nähny mut vasta nyt tajus reagoida. Iha säpsähti ( -pari sekuntia) kun näki Sannin!
- On se Elinakii yks tollikka! Unohtu kattoo muute mite säpsähti, kun näki Evan. Osuko ollenkaa säpsähdys kohalleen.
- Mä muuttelin vähän lauseitten järjestystä ni enpä huomannut, että siitä tulee sellane merkitys nyt. Noh, eihän nuo lauseet oikein toisiinsa liity mitenkään. Kunhan nyt vaan kerroin tämän keksimäni sanan "Pupu-elämä". Saa käyttää vaikka jakson nimessä (kunhan mulle sitten provikat!)!
Noh, taas jäätiin jännäämään, että palasko Aaron muisti vai ei. Aika hauska kohta kieltämättä nuo Annin replat "Haepas kulta se haulikko sieltä..." Miettikää nyt: Aaro ei muista mittää ja iha siinä uskossa että Anni joku ihana äiti-mummeli. Absurdia jos mikä! - Tässä vielä havainnolistava härpäke: https://www.desmos.com/calculator/sxm0066hk7
- Kuinka se nähdään pelkän tiheyden avulla? Nehän voisi olla siten että kaksi on aina melko lähekkäin ja sitten taas suuri hyppy, jonka jälkeen taas kaksi lähekkäin, jne.
Tässä eräs todistus, joka mukailee tuota "yhden hypyn todistusta", mutta käyttää sekin aika järeää lausetta, nimittäin Dirichlet'n lausetta https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions , jonka mukaan muotoa a md, m ∈ N olevia alkulukuja on äärettömän monta, kun syt(a, d)=1.
Olkoon haluttu eristysmatka n annettu. Valitaan jokin alkuluku q>n 2.
Merkitään
M = 2*3*...*(q-1) * (q 1) * ... * (2q-1)
(Eli samoin kuin yhdelle hypylle otettiin n!, niin nyt q:n molemmin puolin kerrotaan q-1:n matkalta kaikki luvut keskenään.)
Nyt, koska q on alkuluku eikä jaa mitään tulon termeistä, niin syt(M, q) = 1.
Valitaan sitten (Dirichlet'n lauseen takaama) alkuluku p, jolle pätee p = M*t q, jollekin t>0.
Nyt p on haluttu eristetty alkuluku, sillä jokaiselle k = 1, 2, ..., n
p - k = M*t q-k, joka on jaollinen q-k:lla, sillä (q-k) | M
ja
p k = M*t q k, joka on jaollinen q k:lla, sillä (q k) | M.
Huomioita:
Itse asiassa yllä (kuten yhden hypyn tapauksessakaan) ei olisi tarvinnut ottaa M:ksi koko tuloa, vaan termien pyj olisi riittänyt.
Dirichlet'n lauseen äärrettömyys-osaa, saati tasa-jakauteneisuutta ei olisi tarvittu. Riittää, että löytyy yksi alkuluku p muotoa p = M*t q, t>=1. Mutta onko tälle asialle olemassa helpompaa todistusta menemättä Dirichlet'n lauseen kautta? Ainakin tässä videossa: https://www.youtube.com/watch?v=zG185Ef1gPM&list=PLU3f-I7n3Bhxge578PJZptOLPUlxs3RBP&index=9&t=473 vihjataan, että se ei aivan triviaalia olisi. - Ai niin, kuvassa ei ole niitä itse nokkia näkyvissä, kun ne ei taitaisi tuolla Sagen Polyhedronilla tulla oikein, kun tekevät kappaleesta epäkonveksin. Olisi pitänyt piirtää nokkatetraedri erikseen. Mutta mihinkäs pisteeseen muuten se nokan kärki tulee? Sehän taitaa jäädä vähän alemmas kuin laatikon korkeus. Joten se määrä minkä siinä saa esim. vettä kestämään (jos nyt unohdetaan että se on paperia, josta johtuen määrä on todellisuudessa vielä pienempi) ei ole sama asia kuin tilavuus.
- Sain, että tällöin maks. tilavuus on
V = 1.37248
Muutin nyt vähän miten otan muuttujat. Otetaan laitojen mitat kuten ennenkin, mutta ei mitään kulmia vaan korkeus yhdeksi muuttujaksi. Otin lisäksi mitat d1 ja d2, jotka ovat mitat minkä verran edetään laidan suorakulmaisesta kohdasta nurkkaan päin. Ehkä lisään vielä kuvan miten se on levitetyllä paperilla, niin tuo kävisi paremmin selväksi. Mutta, mutta siinä kävi kuitenkin niin, että optimiratkaisussa d1 = d2 = 0, joten eihän sitä kannata tehdä kahta taitosta (eli kolmea taitosta per nurkka) vaan suoraan vääntää nokka ilman mitään lisätaitoksia. Kaipa tuo olisi ollut jo intuitiivisestikin selvää. (Olettaen nyt että laskuni meni oikein. Kyllähän tuo tulos ainakin ihan järkevältä vaikuttaa.)
Laidat ja korkeus optimissa olivat
x1 = 0.692
x2 = 0.635
h = 0.529
Jos ei tätä tehdessä muuta oppinut, niin ainakin sen miten lasketaan tetraedrin tilavuus kun tiedetään sen kaikki sivujen pituudet:
https://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html
Ai niin kuvat ja koodit (en nyt jaksanut ruveta Desmokseen tuota vääntäämään, kun kaavat menee vähän monimutkaisiksi):
https://www.desmos.com/calculator/e5erkhgvla - Tein vielä version, jossa laidoista sallitaan tehdä eri mittaiset (vastakkaiset kuitenkin saman mittaiset; en usko että niitä varioimalla saisi parempaa):
https://www.desmos.com/calculator/p9umi6sqqb
Vähäsen tilavuutta saadaan parannettua (jos nyt laskuni meni oikein):
V = 1.31419619
laitojen mitat: 0.5524 ja 0.5685
laitojen kulmat (lattian kanssa): 1.03425 ja 0.98838
korkeus: 0.474776
Ai niin ja minulla on lähtöoletus, että paperiarkki on kokoa 2.1 x 2.97. - Tuli virhe riville
= 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2
pitäisi olla
= 2^(2k-1)^2 (2^(2k))^2 (3*2^(2k-1))^2 - Joo, noinhan se meneekin. Viimenen kohta tulee tosiaan siitä kun neljän neliön summa voi olla 0 (mod 8) vain jos jokainen neliö on 0 tai 4 (mod 8) eli jokainen luku, josta neliö otetaan on parillinen ja näin 4:lla voidaan jakaa ja löydetään pienempi.
Itse perustelin nuo, että muotoa
2^(2k 1)
2^(4k 1)*7
2^(4k-1)*3
eivät ole neljän positiivisen neliön summia, käyttämällä Jacobin neljän neliön lausetta: https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi's_four-square_theorem , joka kertoo kuinka monella tavalla luvun n voi esittää neljän neliön summana (kun sallitaan myös 0 ja lisäksi lasketaan mukaan kaikki eri järjestykset ja lukujen merkit (eli negatiivisetkin sallitaan)). Tätä lukumäärää merkitään r_4(n):llä.
Tein niin että löysin tarpeeksi esityksiä, joissa on nolla mukana, jotta niistä jo tulee tuo Jacobin kertoma määrä. Tällöinhän kokonaan positiivisia ei voi enää olla.
Eka:
2^(2k 1) = (2^k)^2 (2^k)^2
tälläisia esityksiä on 4C2 * 2^2 = 24 (valitaan kaksi paikkaa neljästä, joihin 2^k pistetään ja sitten /- kummallekin. Mutta Jacobin mukaan r_4(2^(2k 1)) = 24 * (1).
Toka:
2^(4k-1) * 7
= 2^(4k-2) * (1 4 9)
= 2^(2k-1)^2 2^(2k)^2 (3^(2k-1))^2
tässä taas on 4 * 3! * 2^3 = 192 = 24*(1 7) = r_4(2^(4k-1) * 7) esitystä.
Vastaavasti kolmas tapaus, siihen tulee kolme positiivista, joista kaksi on yhtäsuuria.
Jännästi muuten ilmaantuu nuo luvut 3 ja 7, jotka kahden ja kolmen neliön tapauksissa on niitä "ongelmallisia" lukuja esityksen olemassaololle. - Tässä minun lasku: https://www.desmos.com/calculator/9ktbhvbcas
Sain, että maksimitilavuus V = 1.31365 litraa, kun taivutettavan seinän pituus x = 0.556633 (dm) ja kulma, jonka se muodostaa maan kanssa on 1.019 (rad). Korkeus on tällöin h = 0.4742 (dm).
Maksimin etsimisen tein Sagella. Se koodi on tuolla lopussa (paneelissa muistiinpanona). - Joo, tämä: https://repl.it/repls/CalculatingMellowBaitware tuottaa myös kaikki tavat. Kun se tapojen määrä alkaa tulla suureksi, niin tietenkin hidastuu. Senhän voisi toki muuttaa sellaiseksi, että se generoi niitä eikä palauta kaikkia listassa.
Helpoista yhtälöistä puheen ollen, voidaan myös kirjoittaa
n = a^2 b^2 = (a b*i)(a-b*i)
ja sehän se juuri johtaa tuonne Gaussin kokonaislukujen maailmaan ja siihen miten n voidaan siellä jakaa tekijöihin. - Kyllä nuo lukumäärät näyttäisi oikeilta.
Sagella helppo testata koodilla
len(divisors(n))
tai jos ei halua kaikkia tekijöitä generoida, niin
product(e 1 for p,e in factor(n))
Ennätys-lukujen listaamisen voisi tehdä näin: https://repl.it/repls/VerticalDecisiveClosedsource
Mutta tuossa pitää sitten tarkastella mihin asti tuo lista menee oikein. Siinä annetaan rajat niille hyvien (= muotoa 4k 1) alkulukujen potensseille ja listataan näin saatavat tulot, järjestetään ne ja kerätään sitten ennätys-luvut. Mitä suuremmat rajat annetaan, sitä pitemmältähän alkupää menee oikein, mutta laskenta vie tietysti pitempään. - Heh, vielä se sen näyttikin laskeneen:
69120 ways to represent 98710365989369069385907608125 as sum of 2 squares
[(49832341411658, 310204938288869), (18569189005130, 313632828653285), (128270100168538, 286805068630459), (81927567000955, 303312116069690), ..., (211461400331090, 232367041895755)] - Uusi koodi: https://repl.it/repls/CalculatingMellowBaitware
Se lukumäärä on n:n tekijöiden määrä jaettuna kahdella, eli saadaan alkutekijäesityksestä, esim
2014974700940990813374532004655625
= 5^4 * 13^2 * 17^2 * 29^2 * 37 * 41 * 53 * 61 * 73 * 89 * 97 * 101 * 109 * 113 * 137 * 149
joten sillä on (4 1) * (2 1)**3 * (1 1)**12 / 2 = 276480 kappaletta esityksiä.
Selvittääkö koodisi kaikki esim luvun 98710365989369069385907608125 esitykset? Omani taitaa noilla paikkeilla hyytyä (tai vie pitempään kuin mitä tuo SageMathCell antaa prosessointiaikaa).