A4 paperiarkista taitellaan avonainen suorakulmainen laatikko jossa on pohja sekä neljä sivua. Kuinka korkea sivun pitää olla jotta laatikon tilavuus on maksimissaan.
-Oma järkeilyni: Eri sivun korkeusista löytyy ääripäät. Jos sivun korkeus on 0 niin myös tilavuus on 0, Samoin jos sivut taitellaan ylös keskeltä paperia niin pohjaakaan ei jää enää jäljelle joten tilavuus on taas nolla. eri sivun mitoilla tilavuudesta saadaan käyrä jossa on maksimi sekä nollakohdat. Myös mitä enemmän sivuja nostaa ylöspäin niin sitä enemmän materialia menee yli jäävissä nurkissa hukkaan. Tämä maksimi pitäisi selvittää derivoimalla? miten?
Entäs jos jätetään suorakulmaisuus pois ja otetaan huomioon että sivuja voi kallistaa ulospäin.
-Omaa järkeilyä: Jos sivuja kallistaa ulospäin vaikka muutaman asteen niin laatikon aukon pinta-ala kasvaa ja tilavuus kasvaa kuitenkaan menettämättä paljoa sivun korkeudesta. Enemmän kallistamalla reunan korkeus alkaa laskemaan sinikäyrän mukaan ja silloin haluttu hyöty menetetään. Mikä olisi optimaalinen kulma reunan kallistukselle?
-Oma järkeilyni: Eri sivun korkeusista löytyy ääripäät. Jos sivun korkeus on 0 niin myös tilavuus on 0, Samoin jos sivut taitellaan ylös keskeltä paperia niin pohjaakaan ei jää enää jäljelle joten tilavuus on taas nolla. eri sivun mitoilla tilavuudesta saadaan käyrä jossa on maksimi sekä nollakohdat. Myös mitä enemmän sivuja nostaa ylöspäin niin sitä enemmän materialia menee yli jäävissä nurkissa hukkaan. Tämä maksimi pitäisi selvittää derivoimalla? miten?
Entäs jos jätetään suorakulmaisuus pois ja otetaan huomioon että sivuja voi kallistaa ulospäin.
-Omaa järkeilyä: Jos sivuja kallistaa ulospäin vaikka muutaman asteen niin laatikon aukon pinta-ala kasvaa ja tilavuus kasvaa kuitenkaan menettämättä paljoa sivun korkeudesta. Enemmän kallistamalla reunan korkeus alkaa laskemaan sinikäyrän mukaan ja silloin haluttu hyöty menetetään. Mikä olisi optimaalinen kulma reunan kallistukselle?
Vastaukset 22
Vanhimmat
Derivoimallahan tuo selviää.
Suorakulmaisen laatikon tilavuus V = (a - 2*h) * (b - 2*h) * h
jollen taas väärin päätellyt. Taitellut kulmat voi suoraan leikata pois.
Maksimi on arviolta kohdassa h = 41 mm ja V = 1,1 litraa.
Jos haluaa arvausta paremman tuloksen niin sitten vai kirjoittelemaan:
V = (a - 2*h) * (b - 2*h) * h kirjoitetaan auki ja saadaan kolmannen asteen yhtälö. Derivoimalla saadaan toisen yhtälö joka ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.
Näyttää siltä että vinoseinäisen laatikon maksimitilavuus saavutetaan kun h = 51 mm ja kulma 26 astetta.
Ihanko tuo siltä näyttää?
Kun tämä nyt on matematiikkapalsta niin mitäpä jos esittäisit täsmällisen matemaattisen todistuksen asialle?
Huuhaapellet eivät ilmeisesti ole ilmastonmuutospalstan yksinoikeus.
Laskin Pythonilla ensin maksimitilavuisen suorakulmaisen laatikon 0,1 mm portain. Tilavuus (max) 1,1318 litraa ja korkeus 40,5 mm. (A4:n koko 297,3 mm x 210,2 mm.)
Sitten laskin vastaavasti vinosenäisten laatikoiden tilavuuksia taivuttamalla kaikkia eripituisia sivuja ulospäin 0,1 mm portain.
Tilavuus (max) 1,359 litraa.
Vinon sivun pituus 66,9 mm ja sen taivutus 42,2 mm (vaakatasossa mitattuna).
Korkeus 51,9 mm.
Taivutuskulma 39,1 astetta.
Taivutetun laatikon pohjan pinta-ala 1,249 dm2 ja yläosan pinta-ala 3,986 dm2.
Ei ole ihan helppo laskea derivoimalla, sillä muuttujia on kaksi.
Tarkistakaa, tekikö Python taas jossakin virheen ja taivuttakaa tuo laatikko A4:sta.
Milloin ISO 216 -standardia on muutettu niin, että A4-arkki ei enää ole kooltaan 210 mm x 297 mm?
Laskin A4:n tarkan koon suoraan A0:n koosta. Tasan 1,0000000000 m2. On matemaattisesti oikeampi tapa tai ei ainakaan ihan väärin. Ei noita kaikkia eri maissa käytetäviä usein muuttuvia standardeja kouluissa opeteta.
Laskin saman vielä mikrometrin portain. Aikaa kului vajaa minuutti, kun lähdin molemmissa silmukoissa liikkeelle tyhmästi 1:stä.
Oletin A4:n matemaattisen tarkaksi kooksi 297302 um x 210224 um. (Paperin paksuuskin pitäisi jo tietysti jotenkin huomioida näillä tarkkuuksilla.)
Tulos tarkentui hiukan:
Tilavuus 1,35914 litraa .
Sivun pituus 66,891 mm ja sen taivutus 42,139 mm (vaakatasossa mitattuna).
Korkeus 51,949 mm.
Taivutuskulma 39,048 astetta.
Tarkentakaa derivoimalla tarkasti!
Taivutuskulma on tietysti 90 - 39,048 = 50,952 astetta, jos sen mittaa vaakatasoon nähden. Tehtävässä kysyttiin pystysuorasta asennosaa lähtevää taivutuskulmaa, joten 39 astettakin on OK.
Päädyin samaa tulokseen excelillä.
Tilavuuden lauseke on kahden muuttujan funktio. Minimin haku derivoimalla näyttää työläältä. Mutta Wolfram etsii myös minimin näppärästi. Sama tulos.
Tässä minun lasku: https://www.desmos.com/calculator/9ktbhvbcas
Sain, että maksimitilavuus V = 1.31365 litraa, kun taivutettavan seinän pituus x = 0.556633 (dm) ja kulma, jonka se muodostaa maan kanssa on 1.019 (rad). Korkeus on tällöin h = 0.4742 (dm).
Maksimin etsimisen tein Sagella. Se koodi on tuolla lopussa (paneelissa muistiinpanona).
Aika monimutkainen tapa yksinkertaiseen tehtävään. Oleta taivutettavan seinän pituudeksi vaikkapa 67 mm ja tee suorakulmainen laatikko. Pohjan pinta-ala on
A1= (297-2*67)*(210-2*67)=12388 mm2
Taivuta seiniä vaikkapa 42 mm ulospäin vaakatasossa mitattuna. Yläosan pinta-ala on
A2= (297-2*67 2*42)*(210-2*67 2*42) = 39520 mm2
Korkeus h = sqrt(67**2-42**2) = 52,2 mm
Tilavuus (A1 A2)*h/2 = (12388 39520)*52,2/2 = 1354798 mm3
Tuo on aika paljon isompi kuin sinun laatikkosi 1,314 litraa.
Mikä meni väärin? Taivutin tuollaisen laatikon A4:sta. Onnistui kun hiukan kokeili ja veti apuviivoja viivottimella ja keksi nurkkien kolmen viivan taivutustavan.
Yksinkertaisella 1 mm:n tarkkuudella laskevalla koodilla saa sekunnin murto-osassa selville miten laatikon tilavuus kasvaa, kun taivutettavan kyljen pituutta (s) ja taivusta (d) kasvattaa. Jokaiselle sivun pituudelle löytyy yksi tilavuuden maksimi ja sitten tilavuus alkaa pienentyä. Joku maksimi on kaikkein suurin, ja se talletetaan muistiin. Kun vastauksen tietää, on helppo lähteä hakemaan tuloksia hienoilla matemaattisilla tavoilla. Virheet löytyvät helposti. Säästyy usein kymmeniä tunteja aikaa.
a = 297#302
b = 210#224
Vmax = 0
for s in range(1,b//2):
__A = (a-2*s)*(b-2*s)
__Vm = A*s
__for d in range(0,s):
____h = (s**2-d**2)**(1.0/2)
____A1 = (a-2*s 2*d)*(b-2*s 2*d)
____V1 = (A A1)*h*1.0/2
____if V1>Vmax: Vmax,Am,Am1,hm,sm,dm = V1,A,A1,h,s,d
____if V1>Vm: Vm = V1
____elif V1<Vm: break
__print(s,d,int(Vm 0.5))
__if Vm<Vmax: break
print(int(Vmax 0.5),sm,dm,int(hm 0.5),Am,Am1)
Tarkkuutta voi lisätä kasvattamalla a:n ja b:n arvot kymmenkertaisiksi eli lisäämällä nollan lukujen perään.
Tuo onkin ihan oikein. Laskin ohjelmassa katkaistun kartion tilavuuden täysin väärin. Jakajana piti tietysti olla 3 ja en edes muistanut, että lausekkeeseen pitää lisätä alojen tulojen neliöjuuri.
V1 = (A A1 (A*A1)**(1.0/2))*h*1.0/3
Paha tuplavirhe ei jostain syystä aiheuttanut täysin pieleen meneviä tuloksia.
Tuossa koodissa V1:n lauseke on väärin. Pitäisi olla katkaistun kartion tilavuuden kaava:
V1 = (A A1 (A*A1)**(1.0/2))*h*1.0/3
Dementia pahenee! Piti kyllä tarkistaa Wikipediasta, mutta koska tulokset olivat niin oikean näköisiä, tarkistus unohtui tehdä. Jostain syystä, en muista mistä.
Tein vielä version, jossa laidoista sallitaan tehdä eri mittaiset (vastakkaiset kuitenkin saman mittaiset; en usko että niitä varioimalla saisi parempaa):
https://www.desmos.com/calculator/p9umi6sqqb
Vähäsen tilavuutta saadaan parannettua (jos nyt laskuni meni oikein):
V = 1.31419619
laitojen mitat: 0.5524 ja 0.5685
laitojen kulmat (lattian kanssa): 1.03425 ja 0.98838
korkeus: 0.474776
Ai niin ja minulla on lähtöoletus, että paperiarkki on kokoa 2.1 x 2.97.
Avoimesta rasiasta tulee ihan lunnostaan paljon laskettua tilavampi, jos jättää nurkat auki. Niihinhän muodostuu lähes väkisin hyvät kaatonokat. Tuo opetetaan peltiseppäkoulun matikan tunneilla ja käytännön harjoituksissa. Yritä mallintaa noiden kaatonokkien (sakaroiden) muoto matemaattisesti. Jos on käytetävissä ohutta peltiä ja välineet taivutteluun, niin homma onnistuu paljon nopeammin.
Lisää tilavuutta saa pullistuneella muodolla. Jos laittaa kaksi levyä päällekkäin ja yhdistää niiden reunat tiiviisti yhteen, niin täyttämällä levyjen väliin jäävän tilan paineilmalla tai vedellä, löytää optimaalisen muodon.
Sain, että tällöin maks. tilavuus on
V = 1.37248
Muutin nyt vähän miten otan muuttujat. Otetaan laitojen mitat kuten ennenkin, mutta ei mitään kulmia vaan korkeus yhdeksi muuttujaksi. Otin lisäksi mitat d1 ja d2, jotka ovat mitat minkä verran edetään laidan suorakulmaisesta kohdasta nurkkaan päin. Ehkä lisään vielä kuvan miten se on levitetyllä paperilla, niin tuo kävisi paremmin selväksi. Mutta, mutta siinä kävi kuitenkin niin, että optimiratkaisussa d1 = d2 = 0, joten eihän sitä kannata tehdä kahta taitosta (eli kolmea taitosta per nurkka) vaan suoraan vääntää nokka ilman mitään lisätaitoksia. Kaipa tuo olisi ollut jo intuitiivisestikin selvää. (Olettaen nyt että laskuni meni oikein. Kyllähän tuo tulos ainakin ihan järkevältä vaikuttaa.)
Laidat ja korkeus optimissa olivat
x1 = 0.692
x2 = 0.635
h = 0.529
Jos ei tätä tehdessä muuta oppinut, niin ainakin sen miten lasketaan tetraedrin tilavuus kun tiedetään sen kaikki sivujen pituudet:
https://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html
Ai niin kuvat ja koodit (en nyt jaksanut ruveta Desmokseen tuota vääntäämään, kun kaavat menee vähän monimutkaisiksi):
https://www.desmos.com/calculator/e5erkhgvla
Ai niin, kuvassa ei ole niitä itse nokkia näkyvissä, kun ne ei taitaisi tuolla Sagen Polyhedronilla tulla oikein, kun tekevät kappaleesta epäkonveksin. Olisi pitänyt piirtää nokkatetraedri erikseen. Mutta mihinkäs pisteeseen muuten se nokan kärki tulee? Sehän taitaa jäädä vähän alemmas kuin laatikon korkeus. Joten se määrä minkä siinä saa esim. vettä kestämään (jos nyt unohdetaan että se on paperia, josta johtuen määrä on todellisuudessa vielä pienempi) ei ole sama asia kuin tilavuus.
Nurkkapala kannattaa leikata pois ja aloittaa sen muotojen miettiminen ja kokeileminen ihan uutena tehtävä. Tiedetään tarkkaan mihin kolmioon sen pitää sopia. Siitä näyttäisi tulevan reunoiltaan pyöristynyt. Riittää kokeilla yhtä nurkkaa. Helpottaa sopivan peltipalan löytymistä ja käsittelyä. Sitä laatikkoa ei tarvitse lähteä taittelemaan.
Ja todellakin pitää laskea ihan erikseen tilavuudet vedelle ja ihan vaan tilavuudelle. Uusi optimi saattaa syntyä myös hiukan eri lähtötilanteeseen.