Oisko täällä joku joka osais neuvoo, miten tällänen yhtälö ratkastaan?
xˆ4-3xˆ2 1>0
xˆ4-3xˆ2 1>0
Neljännen asteen yhtälöön apua
help
25868
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 25
Vanhimmat
Ota uusi muuttuja
y=x^2
Ratkaise se ensin yhtälöstä
yˆ2-3y 1>0
Sitten
x = /- sqrt(y)
y=x^2
y^2-3y 1=0
y = 3/2 /- sqrt(5)/2
x= /- sqrt(3/2 sqrt(5)/2 ) = /- 1.618
x= /- sqrt(3/2-sqrt(5)/2 ) = /- 0.618
Tulos voidaan myös esittää muodossa:
y = 3/2 sqrt(5)/2 =
5/4 1/4 sqrt(5)/2 =
5/4 2*sqrt(5)/4 1/4 =
sqrt(5)^2/4 2*sqrt(5)/4 1/4 =
(1/4) (sqrt(5) 1)^2
x = /- sqrt(y) = /- (1/2) (sqrt(5) 1)
y = 3/2 - sqrt(5)/2 =
5/4 1/4 - sqrt(5)/2 =
5/4 - 2*sqrt(5)/4 1/4 =
sqrt(5)^2/4 - 2*sqrt(5)/4 1/4 =
(1/4) (sqrt(5)-1)^2
x = /- sqrt(y) = /- (1/2) (sqrt(5)-1)
Muuta ensi potenssimerkit "oikeiksi" ja kopsaa alla oleva yhtälö googleen:
x^4-3x^2 1
Google graph piirtää sinulle kuvan. Näet millaisesta symmetrisestä käppyrästä on kysymys. Sitten vaan ratkomaan 45ty54:n ohjeilla tai keksimälläsi muulla tavalla. Kuvasta näet suoraan oikean vastauksen ja voit verrata tuloksia laskettuihin arvoihin. Pitää ilmoittaa neljällä lukuarvolla kolme arvoaluetta oikein. Ei ole kenellekkään ihan helppoa ilman kuvaa!
Kuten olen täälläkin niin monta kertaa toistanut, että kun on kyse funktion kulusta, niin kannattaa piirtää tilanteesta kuva ja mielellään vielä oikeilla koordinaattiarvoilla. Kuvasta voi ensiksi päätellä, miten tehtävää voisi ratkaista, ja toiseksi siitä pystyy tarkistamaan, onko saatu tulos oikein.
Mikäs on googlea graph:ia parempi aina heti käytössä oleva ilmainen funktioiden piirtosivusto? Olisi hyvä saada tarvittaessa koko ruudun kuva ja siihen samalla kertaa useampikin käppyrä.
Geogebra on aika hyvä:
https://www.geogebra.org/classic?lang=fi
Sillä voi tehdä myös geometrisiä konstruktioita. Funktion voi syöttää muodossa y=f(x) vasemmalla olevaan syöttökenttään.
Sijoitetaan yhtälön kertoimet ratkaisukaavaan ja siinä se:
https://planetmath.org/QuarticFormula
Myös WolframAlpha piirtää sekä kuvaajan että ratkoo nollakohdat.Liekö sitten kuitenkin tarkoitettu ihan paperilla ja kynällä laskettavaksi? Mutta antavathan nuo apuneuvot tarkastusmielessä tukea.
Funktion nollakohdat .
f(x) = x^4 - 3 x^2 1 = 0. (x^2)^2 - 3 x^2 1 = 0.
x^2 = (3 /- sqrt(9 - 4) )/2 = 3/2 /- sqrt(5)/2. Nollakohtia on 4:
x 1= - 1/2 - sqrt(5)/2, x2 = - 1/2 sqrt(5)/2, x3 = 1/2 - sqrt(5)/2, x4 = 1/2 sqrt(5)/2.
Funktion derivaatan nollakohdat:
f'(x) = 4 x^3 - 6 x = 0. x5 = - sqrt(3/2) , x6 = 0, x7 = - sqrt( 3/2).
Funktiolla on siis 3 kriittistä pistettä.
Toinen derivaatta
f''(x) = 12 x^2 - 6, f''(- sqrt( 3/2)) = 12 > 0 , kyseessä minimi. f''(0) = - 6 < 0 , kyseessä maksimi, f''(sqrt(3/2)) = 12 > 0 , kyseessä maksimi.
Tuostahan nyt näkyy funktion kulku ja se, milloin f > 0. Kannattaa piirtää esim. W-A:lla.. Sehän se kaskee kätevästi nuo nollakohdatkin.
En tiedä mitä tämä systeemi oikein temppuilee. Olin kirjoittautunut sisään nimimerkillä " Ohman3 " mikä myös näkyi tuolla sivun yläkulmassa mutta ei silti hyväksynyt tuota nimimerkkiä vaan valitti sen olevan jo käytössä. Ihme pelleilyä. Käytän nyt tässä sitten nimimerkkiä "Ohman4".
Tulipa kirjoitusvirhe, p. o. : f''(sqrt(3/2)) = 12 > 0, kyseessä minimi.
Testataan hiukan nimimerkkejä Ohman*
Olisiko Ohman1 vapaana?
Joku oli varmaan pöllinyt alkuperäisen nimimerkkini "Ohman" sillä se lakkasi kelpaamasta, en ollut sitä rekisteröinyt. Kyllä on huvit jos tämä nyt tuosta johtui!
Täällä oli kerran kirjoitus nimimerkillä "Ohman2" joten rekisteröin tuon nimimerkin "Ohman3" sen enempiä tutkimatta.
Saa nähdä ilmestyykö tänne juttuja nimimerkiltä "Ohman"? Eivät sitten ole minun. Vai onko asialla sittenkin joku muu selitys?
Entinen Ohman
Kokeile päivittäin Ohman2 nimimerkkiä. En ole rekisteröinyt sitä, enkä aio käyttää sitä toista kertaa. Saat selville, kuinka kaun nimimerkki pysyy varattuna. Tärkeä tieto!
joku varmaan on pöllinyt aikoinaan myös minun nikkini "martta", nyt kirjoittelen nikillä martta00...tai sitten johtuu jostain ihan muusta, jota en tiedä
No katsotaan.
Tämä Ohman2 ei näytä varatulta. Mutta käytän nyt tuota jo rekisteröimääni jatkossa. Ellei löydy selitystä tuolle alkuperäisen katoamiselle.
Alkuperäinen Ohman
Jos tämä pitää tosiaan ratkaista neljännen asteen epäyhtälönä, eli funktion kulkua ei voi vielä käsitellä derivaattojen avulla, on pyrittävä muokkaamaan yhtälöä niin , että se on tulomuodossa nollaan nähden.
Tehtävästähän voi sivistyneesti arvata , että se on mahdollista.
Se menee vähän hankalaksi, mutta parilla paprulla ja vähällä pyyhkimisellä sen voi klaarata:
Tuossa on sitä tulomuotoon saattamista: https://aijaa.com/MtT8Re
Ja tuossa sitten tulomuodon lukusuoratarkastelua, josta se varsinainen ratkaisu sit löytyy:
https://aijaa.com/tHjGBC
Missä se sanottiin ettei sitä voida käsitellä tavalliseen differentiaalilaskennan tapaan?
Ajattelin, että jos opiskelu on siinä vaiheessa, että derivointi ei ole ollut vielä esillä. Minun nuoruudessani tällaiset epäyhtälöt käsiteltiin lukion eka vuonna ja differentiaali- ja integraalilaskentaa vasta toka vuonna.
Noiden nollakohtien x(i) määrääminen vaatii vain toisen asteen yhtälön ratkaisun osaamista. Tulomuoto saadsaan siitä että tuo polynomi on lausekkeiden x - x(i) tulo. Eikös tuo laskusi ollut turhan konstikas?
Nollakohdathan ovat : ±½ ±½√5. Minä en näitä muuten saanut, ja tuo tapa on hyvin yksinkertainen ja mekaaninen, se vain näyttää konstikkaalta kun roikotin sitä toistakin vaihtoehtoa siellä mukana.
Se onnistui nyt tässä, tuskin muussa yhtälössä, ei tosin tarvitsekaan. ( Ps. Jospa joku näyttäisi, miten nuo saadaan sillä ratkaisukaavalla suoraan.)
Johan tuo Ohman4 sen näytti.
Kukahan tuo Ohman4 oikein on? En ainakaan minä!
Taas tätä pelleilyä. Kyllä jutuistani on ilmennyt, että kun nimimerkkini varastettiin niin olen käyttänyt mm. nimimerkkiä "Ohman4".Näillä nimimerkeillä näkyy voitavan pelleillä, kuten tuo Ohman4, jolle nyt vastaan, näkyy tekevän.
On kierot huvit. Mutta jos on lusikalla annettu ei voi kauhalla ottaa.