Kaikkihan tietää muistikaavat (a b)^2 = a^2 2ab b^2 jne. mutta entäpä kolmannen asteen, kolmen muuttujan kaavat
x³ y³ z³ - 3xyz = (x y z)(x² y² z²-xy-yz-zx)
ja
(x y z)³ - (x³ y³ z³) = 3(x y)(y z)(z x)
ja
(x y)(y z)(z x) = (x y z)(xy yz zx) - xyz
Millä nämä saa taottua päähänsä, että niitä pystyy yhtä automaattisesti huomaamaan milloin niitä voi soveltaa kuin neliön erotuksia ja muita tavallisia muistikaavoja?
Ensimmäisenhän voisi siitä yrittää muistaa, että 3x3 matriisille A pätee Cayley-Hamiltonin lauseen mukaan
A³ - tr(A)*A² tr(adj(A))*A - det(A)*I = 0
missä A:n liittomatriisin jälki voidaan lausua A:n ja A:n neliön jälkien avulla:
tr(adj(A)) = 1/2( tr(A)² - tr(A²) )
Jos x,y ja z ovat A:n ominaisarvot (tai voihan siihen suoraan laittaa diagonaalimatriisin A = diag(x,y,z)), niin ottamalla yhtälöstä jälki saadaan
tr(A³) - 3det(A) = tr(A) ( tr(A²) - tr(adj(A)) ).
x³ y³ z³ - 3xyz = (x y z)(x² y² z²-xy-yz-zx)
ja
(x y z)³ - (x³ y³ z³) = 3(x y)(y z)(z x)
ja
(x y)(y z)(z x) = (x y z)(xy yz zx) - xyz
Millä nämä saa taottua päähänsä, että niitä pystyy yhtä automaattisesti huomaamaan milloin niitä voi soveltaa kuin neliön erotuksia ja muita tavallisia muistikaavoja?
Ensimmäisenhän voisi siitä yrittää muistaa, että 3x3 matriisille A pätee Cayley-Hamiltonin lauseen mukaan
A³ - tr(A)*A² tr(adj(A))*A - det(A)*I = 0
missä A:n liittomatriisin jälki voidaan lausua A:n ja A:n neliön jälkien avulla:
tr(adj(A)) = 1/2( tr(A)² - tr(A²) )
Jos x,y ja z ovat A:n ominaisarvot (tai voihan siihen suoraan laittaa diagonaalimatriisin A = diag(x,y,z)), niin ottamalla yhtälöstä jälki saadaan
tr(A³) - 3det(A) = tr(A) ( tr(A²) - tr(adj(A)) ).
Vastaukset 5
Vanhimmat
Mjnulle riittää kun muistan missä on viinakaupan ominaisarvo ja ominaisvektori täältä sinne.
Opettelemalla ne ulkoa. Silloin ei tarvitse tueksi muistisääntöä. Paljon monimutkaisempiakin asioita joutuu opettelemaan ulkoa.
Mulla on taulukkokirja vuodelta mummo tossa käden ulottuvilla jossain lootassa. Siitä on nopea tsekata paljon muutakin, kuten esim. Lalande 21185 tähden speksit, väri: punainen, visuaalinen suuruusluokka 7,47, omiaisliike kaarisek/a 4,78, säteisnopeus km/s –86, etäisyys vv 8,1.
Keksikää minulle näistä tehtäviä! Tässä esimerkki: Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja. Osoita, että
3(a³ b³ c³) ≥ (a b c)(a² b² c²).
Esitä ratkaisu tällä palstalla:
For any integer n > 2, the equation a^n b^n = c^n has no positive integer solutions.